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CONVEGNO SULLA MATEMATICA
" Olimpiadi di Matematica: strategie e curiosità"
Relatore il prof. Paolo A. Oliverio
Dip.Matematica e Informatica UNICAL
Castrovillari Teatro Sybaris
12 aprile 2014


MATEMATICA ONLINE 2014

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CLASSIFICA FINALE 2014
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FASE PROVINCIALE SCUOLE SUPERIORI
20 FEBBRAIO 2014
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G. DI ARCHIMEDE - SCUOLA MEDIA

21 FEBBRAIO 2014

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GIOCHI DI ARCHIMEDE-SCUOLE SUPERIORI
27 Novembre 2013
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GARA DI II LIVELLO CLASSI PRIME
11 FEBBRAIO 2014
I.I.S. "Pitagora-Calvosa"
Castrovillari


GARA A SQUADRE UMI
FASE LOCALE
7-MARZO-2014


GARE INTERNAZIONALI
European Girl's Mathematical Olympiad
10-16 Aprile 2014 (Antalya)


OLIMPIADI NAZIONALI DELLA MATEMATICA
CESENATICO 8 -11 MAGGIO 2014 
DELLA GARA NAZIONALE 2013


OLIMPIADI DI MATEMATICA 2014
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(ENTRO IL 23 OTTOBRE 2013) 
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OLIMPIADI INTERNAZIONALI

3-13 luglio 2014 - Cape Town (South Africa) 


Coniche e fasci di coniche

coniche e fasci di coniche tratta dello studio di quella famiglia di curve piane che va, appunto, sotto il nome di coniche. si parte dalla definizione e si espone l’intera teoria, dopo aver premesso alcuni concetti come quello di autovalore di una matrice, autovettore ed autospazio. seguono, quindi, alcune applicazioni sulle coniche   non degeneri   (ellisse, iperbole, parabola e circonferenza)   e  degeneri (coppie dirette), ed altre sulla discussione di coniche in presenza di un parametro reale k.

anticamente le coniche venivano chiamate “ oxytome”  se sezioni  di un cono acutangolo, “orthotome” se sezioni di un cono rettangolo, “amblytome” se sezioni di un cono ottusangolo.

la teoria delle coniche riporta alla mente il primo matematico di origine greca, apollonio, definito il “grande geometra dell’antichità”, che se ne occupò e che di essa si deve ritenere il fondatore. i termini ellisse, parabola e iperbole, che già esistevano per altri problemi, vennero da apollonio utilizzati per le coniche.

apollonio nacque a perga in  asia minore. di lui sappiamo che, insieme a euclide e archimede, fu uno dei tre grandi matematici vissuti nel primo secolo dell’età ellenistica. 

si deve alla loro presenza se il periodo dal 300 al 200 a.c. fu chiamato  età aurea” della matematica greca. sicuramente apollonio visse ad alessandria insegnando matematica al museo e, per un certo periodo, anche a pergamo dove vi era una biblioteca seconda per importanza solo a quella di alessandria.

fu attivo durante la dinastia dei tolomeo (secondo una testimonianza fu tesoriere di tolomeo filadelfio) e si dice che fosse più giovane di archimede di 25-40 anni, per cui è stata avanzata l’ipotesi che sia vissuto dal 262 al 190 a.c.

scrisse molte opere andate perdute, il contenuto di alcune di esse ci viene da alcune descrizioni di pappo. sei delle opere di apollonio, con due trattati di euclide, erano incluse in una raccolta dal titolo “tesoro dell’analisi” che trattava di problemi sulle curve e doveva comprendere gran parte di quella che oggi chiamiamo “geometria analitica”.

dalle descrizioni di pappo è possibile farsi un’idea del contenuto delle sue opere andate perdute, tra esse “luoghi piani ” nella quale si parla del cerchio da lui scoperto e che prese il suo nome: «il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissi sia costante  (e diverso da 1) è un cerchio, noto come cerchio di apollonio”».

ma  l’opera  più importante  di  apollonio sono “le coniche” o “ sezioni coniche”.

le “sezioni coniche” furono scritte in 8 libri e contenevano 487 proposizioni; i primi quattro libri sono conservati in manoscritti greci del xii e xiii secolo e i tre successivi in una traduzione araba del 1290. l’ottavo libro è andato perduto, sebbene  halley, nel xviii secolo, ne abbia fornito una ricostruzione sulla base delle indicazioni fornite da pappo.

prima di lui l’ellisse, la parabola e l’iperbole venivano costruite come sezioni di tre tipi di coni circolari retti, nettamente distinti, a seconda che l’angolo al vertice fosse acuto, retto o ottuso. apollonio “dimostrò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente  variando  l’inclinazione  del  piano di intersezione, non  solo, ma che non  era   necessario  che   il  cono  fosse  circolare retto, potendo essere anche obliquo”. le proprietà delle curve non cambiano se intersecate in coni retti o in coni obliqui.

infine apollonio sostituì il singolo cono con quello a doppia falda e ciò fece sì che l’iperbole assumesse la forma caratteristica  a due rami che oggi conosciamo, mentre i matematici antichi la consideravano come insieme di due iperboli.

apollonio conosceva le proprietà dell’iperbole riferita ai suoi asintoti come assi, proprietà espresse per l’iperbole equilatera dall’equazione xy = c2.

egli non poteva immaginarsi che un giorno questa relazione, equivalente alla legge di boyle, avrebbe avuto una importanza fondamentale nello studio dei gas, né che il suo studio dell’ellisse avrebbe avuto un ruolo fondamentale nell’astronomia moderna.

senza la conoscenza delle proprietà delle tangenti ad una parabola, sarebbe impossibile qualsiasi analisi delle traiettorie locali, ed uno studio delle traiettorie dei pianeti sarebbe impossibile senza fare riferimento alle tangenti ad un’ellisse. in altre parole è chiaro che la matematica pura di apollonio, 1800 anni dopo, rese possibile l’opera di newton che a sua volta ha permesso agli scienziati di mandare l’uomo sulla luna.

i metodi usati da apollonio nelle coniche non sono molto diversi da quelli usati da descartes, padre della geometria analitica.

l’impiego di rette di riferimento (un diametro per l’asse x e una tangente per l’asse y) non era molto diverso dall’uso di un sistema di coordinate ortogonali o oblique. le distanze misurate sul diametro, a partire dal punto di tangenza, non erano altro che le ascisse, mentre i segmenti paralleli alla tangente ed intersecati tra l’asse x e la curva erano le ordinate. le relazioni tra le ascisse e le ordinate erano espressione delle equazioni di queste curve.

tuttavia la mancanza di coordinate negative e il sistema di coordinate sovrapposto a posteriori su una curva, che significava che le  equazioni  scaturivano  dalle curve  ma non, viceversa, che le curve fossero definite da equazioni, unito alla povertà di curve, ha fatto si che apollonio non sia giunto a sviluppare una geometria analitica.

leggi : Conichefascidiconiche.pdf
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